Suite qui tend vers ln (2)

On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\)  définie pour tout entier naturel  \(n\) non nul par  \(\displaystyle u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{n+k}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}\) .

1. Donner \(u_1\)  et démontrer que \(u_2=\dfrac {7}{12}\) .

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\)  non nul, \(u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}\) .
    b. En déduire le sens de variations de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .
    c. Démontrer que, pour tout entier \(n\)  non nul, \(u_n\leqslant1\) .
    d. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  est convergente.

3. a. Montrer que, pour tout réel \(x>0\) , on a \(1-\dfrac{1}{x}\leqslant\ln x\leqslant x-1\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(p\ne0\) , \(\dfrac{1}{p+1}\leqslant\ln\left(\dfrac{p+1}{p}\right)\leqslant\dfrac{1}{p}\) .

4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\)  non nul, \(u_{n}\leqslant\ln2\leqslant u_{n}+\dfrac{1}{2n}\) .
    b. En déduire que la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .